因为不少公司的机器学习(数据挖掘)的笔试题中都涉及到行列式的求解,故稍微做了下总结。

几何意义

一个解释是行列式就是矩阵的行(列)向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积1

另一个解释是矩阵A的行列式就是线性变换 A 下的图形面积或体积的伸缩因子

这两个几何解释一个是静态的体积概念,一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质,因为矩阵 A 表示的(矩阵向量所构成的)几何图形相对于单位矩阵 E 的所表示的单位面积或体积而言,伸缩因子本身就是矩阵A表示的几何图形的面积或体积。

比如,一个 $3\times 3$ 阶的行列式,其行向量或列向量所张成的平行六面体。

此处输入图片的描述


常规求法

利用代数余子式:


常用性质

  • 互换行列式的两行或两列,行列式变号。
  • $A$ 可逆 $\Rightarrow \det (A)\not= 0$
  • $Ax=0$ 只有零解 $\Rightarrow \det (A)\not= 0(\text{A 可逆})$

分块矩阵2

我们知道二阶矩阵的行列式计算式:

那么对于分块矩阵$ \left|\begin{array}{cccc}
A & B \\
C & D \end{array}\right| $ 是否存在类似的计算式呢?

一般情况下,相应的分块矩阵的行列式公式并不存在,但如果 $A,B,C,D$ 满足某些特定的条件,则会存在简明的计算公式。


公式一:若 A 和 D 是方阵 (但大小可以相异),则

推论:


公式二:设 A 和 D 是方阵。若 A 可逆,则

若 D 可逆,则


公式三:设 A, B, C, D 是 $n\times n$ 阶矩阵。若 A, B, C, D 其中之一是零矩阵,则


公式四:设 A, B, C, D 是 $n\times n$ 阶矩阵。若 AC=CA,则

若 CD=DC,则

若 BD=DB,则

若 AB=BA,则

注意,即使前提满足,$\det(AD-CB)$ 未必等于 $\det (AD-BC)$,同样的,$\det(AD-BC)$ 也未必等于 $\det (DA-BC)$。


举个栗子

求行列式,

首先我们将第一列与第二列交换,这样分块矩阵中的每个矩阵都是对角矩阵 :

再利用公式四