因为不少公司的机器学习（数据挖掘）的笔试题中都涉及到行列式的求解，故稍微做了下总结。
几何意义
一个解释是行列式就是矩阵的行（列）向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积1；
另一个解释是矩阵A的行列式就是线性变换 A 下的图形面积或体积的伸缩因子。
这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵 A 表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵 E 的所表示的单位面积或体积而言，伸缩因子本身就是矩阵A表示的几何图形的面积或体积。
比如，一个 $3\times 3$ 阶的行列式，其行向量或列向量所张成的平行六面体。
常规求法
利用代数余子式：
常用性质
- 互换行列式的两行或两列，行列式变号。
- $A$ 可逆 $\Rightarrow \det (A)\not= 0$
- $Ax=0$ 只有零解 $\Rightarrow \det (A)\not= 0(\text{A 可逆})$
分块矩阵2
我们知道二阶矩阵的行列式计算式:
那么对于分块矩阵$
\left|\begin{array}{cccc}
A & B \\
C & D
\end{array}\right|
$ 是否存在类似的计算式呢？
一般情况下，相应的分块矩阵的行列式公式并不存在，但如果 $A,B,C,D$ 满足某些特定的条件，则会存在简明的计算公式。
公式一：若 A 和 D 是方阵 (但大小可以相异)，则
推论：
公式二：设 A 和 D 是方阵。若 A 可逆，则
若 D 可逆，则
公式三：设 A, B, C, D 是 $n\times n$ 阶矩阵。若 A, B, C, D 其中之一是零矩阵，则
公式四：设 A, B, C, D 是 $n\times n$ 阶矩阵。若 AC=CA，则
若 CD=DC，则
若 BD=DB，则
若 AB=BA，则
注意，即使前提满足，$\det(AD-CB)$ 未必等于 $\det (AD-BC)$，同样的，$\det(AD-BC)$ 也未必等于 $\det (DA-BC)$。
举个栗子
求行列式，
首先我们将第一列与第二列交换，这样分块矩阵中的每个矩阵都是对角矩阵 :
再利用公式四：