基本假定¹

回归分析中对随机扰动项的假定，

$$Y = X\hat{\beta}+e$$

• 零均值：$E(u_i|X_i)=0$
• 同方差：对于每一个 $X_i$，$u_i$的条件方差等于某个常数

$$Var(u_i|X_i)=\sigma^2 \Rightarrow Var(Y_i|X_i)=\sigma^2$$

• 无自相关：$Cov(u_i,u_j)=0$

• 随机扰动项与解释变量不相关: $Cov(u_i,X_i)=0$

• 无多重共线性假定

假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解释变量观测值之间线性无关。

• 正态性假定: $u_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

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OLS 估计

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统计特性，

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无偏估计：估计量的数学期望等于被估计参数。

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基本假定不满足

需要专门讨论无多重共线性、同方差、 无自相关。

多重共线性²

• 存在多重共线性时，OLS估计式变得不确定或不精确 .
• OLS估计式方差变得很大，标准误差增大 .
• 当多重共线性严重时，甚至可能使估计的回归系数 符号相反，得出完全错误的结论 .
• 区间估计和假设检验会出现错误 .

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分析多重共线性后果时应注意：

• 存在多重共线性时,OLS估计式还是最佳线性无偏估计式（BLUE）

无偏性是重复抽样的特性；”最小方差”是相对于其他估计方法而言：（相对于其他方法方差最小，并不是说相对于估计量的值就小）“方差变大”是相对于无多重共线性而言 .

• 多重共线性的影响程度与解释变量在方程中的相对“地位”有关 .
• 如果研究目的仅在于预测 Y ，而解释变量 X 之间的多重共线性关系的性质在未来将继续保持（前提条件），这时多重共线性可能并不是严重问题，而应着重于可决系数高，F 检验显著。

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异方差性³

存在异方差时，OLS估计仍然是无偏估计，但是,

• OLS估计式不再具有最小方差特性 .
• 解释变量的显著性检验失效 .
• 预测精度降低,区间预测面临困难 .

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自相关⁴

$$Cov(u_i,u_j)=E(u_iu_j)\not= 0$$

自相关的后果,

• 参数的OLS估计式仍然是无偏的
• 用OLS估计的参数的方差不再具有最小方差
• 低估 $u_i$ 的真实方差

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